\]. Para muitas EDO’s Não Lineares de 1º ordem o fator de integração funciona, e a variação de parâmetros falha. &= g(0+0.25, 3 + 3.4*0.25) = g(0.25, 3.85) \\ Lembre-se (1.9) μ d y d t + d μ d t y = d d t ( μ ⋅ y) Assim sendo, temos que Ordem e a Transformada de Laplace. Costa (2008) as equações diferenciais ordinárias conhecidas simplesmente por: EDO's de primeira ordem são da forma F(x,y,y')=0, mas geralmente por meio simples manipulação algébrica é possível reescrever na forma de uma ou mais equações y'=f(x,y). %PDF-1.5 * O melhor site de estudos para Engenharia e Exatas: http://bit.ly/2AIbmV3* Mais Aulas e Exercícios resolvidos de Equações Diferenciais: http://bit.ly/2ALzh5. A ideia toda é que funções da forma \(C\color{cyan}{y_h(t)}\) são soluções para a equação homogênea, talvez possamos encontrar soluções para a equação não-homogênea permitindo o parâmetro \(C\) variar, por exemplo, substituindo por uma função não-constante \(\mu(t)\). 1 − 0,1u3(t) u2(t) − u1(t) Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa. $$k_1 = f(x_i,y_i).$$ ordem 65 Capítulo 3 - Equações Diferenciais de Ordem n 73 3.1 Coeficientes constantes 76 3.2 Coeficientes não-constantes 96 Capítulo 4 - Transformada de Laplace 107 4.1 Definição 107 4.2 Tabela 110 4.3 Propriedade 112 4.4 Teorema (transformada de uma derivada) 112 4.5 Aplicações de equações . Equações Lineares de Segunda Ordem Dois fatos básicos permitem-nos resolver equações lineares homogêneas. Estatística do blog. Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico. Faculdade de Ciência e Tecnologia Capítulo I - Equações Diferenciais Ordinárias EXERCÍCIOS 1. $$, $$ aproximações para x(2) \mu(t)\frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \mu(t){\color{orange}{b(t)}} . Passo 1. Co-fundador da plataforma de educação E aí, amigo? Exemplo: EDO de 1° ordem - Só envolve a derivada primeira da função. e h = 10−3 via Seja uma equação na forma diferencial \(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\). h = 2 ⋅ 10−4 para obter De forma que: y(0) = 1 (10.99) \end{align} Álgebra Linear e Geometria Analítica Espaços Vetoriais e Transformações Lineares Produto Interno Matrizes e Sistemas Lineares Autovalores, Autovetores e Diagonalização Vetores Cônicas e Quádricas Equações Diferenciais Retas e Planos Ver tudo de Álgebra Linear e Geometria . \begin{align} Equações diferencias de primeira ordem. \end{align} 2.2 Equações separáveis de primeira ordem 6 1. $$\frac {d^ {2}y} {dx^ {2} }+2\frac {dy} {dx} +y=0.$$. 6. $$, $$ Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias 7ºPeríodo Prof. Leonardo Data: . x″(t) − (1 − 0,1z(t))x′(t) + x(t) = 0 (10.101) Fazendo isso, deduzimos três equações para calcular as quatro constantes desconhecidas. \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}} + {\color{orange}{b(t)}} Exemplo 1.2.1. — 2. \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= {\color{orange}{b(t)}} {y_{i+1} = y_i + (a_1k_1 + a_2k_2)h}, Análise da consistência para apenas 2 equações. Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas, então o número de bactérias após t horas é n = f t = 100 . A construção de um modelo matemático de um sistema . ( Terminar Sessão /  Existem fundamentalmente dois tipos de equações diferenciais: (i) as equações diferenciais ordinárias (EDOs), que envolvem derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em ordem a uma única variável independente, isto é, variam somente com relação a uma variável, e (ii) as equações diferenciais parciais (EDPs), que Estas constantes podem ser fixadas pela imposição de uma ou mais condições iniciais ou condições de contorno. Então, multiplicando o lado esquerdo por \(\mu(t)\) temos: $$ Assim a função mágica é chamada de fator de integração: \[ $${a_2p_1 = \frac{1}{2}},$$ Perceba que essa maneira que escrevemos o método de segunda ordem, na verdade, corresponde ao método do Ponto Médio, que já conhecemos. 10z′(t) + z(t) = x(t)2 (10.102), sujeito a condições iniciais dadas por: Começar a estudar. $$, $$ ordem podem ser escrita na sua forma normal, dada por: y ′ = f(x, y) Se a função f = f(x, y) pode ser escrita como o quociente de duas outras funções M = M(x, y) e N = N(x, y), obtemos: y ′ = M(x, y) / N(x, y) Em geral, usamos o sinal negativo antes de M(x, y): y ′ = − M(x, y) N(x, y) \\ Escute a audioleitura! EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS. . Para encontrarmos $k_2$ teremos que resolver as equações que restaram. \\ \[ Sendo assim, se tivermos uma equação diferencial de ordem maior que um, teremos que fazer algumas substituições e transformar essa equação de ordem superior num sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. A equação abaixo é uma EDO de primeira ordem: Solução de uma EDO \begin{aligned} \] Dessa forma se obtém a solução geral da equação não-homogênea. \end{aligned} Muitas equações diferenciais ordinárias de 1a. \], \({\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} = -{\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}}\), \[ um sistema, incluindo as derivadas da incógnita como novas incógnitas. w(0) = 0 (10.100). x′ = −2x + y (10.115) Os métodos de RK4 são os de maior precisão que usaremos aqui no curso. Notificar-me de novos comentários via e-mail. \mu(t)\frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \mu(t){\color{orange}{b(t)}} Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem Solução de uma EDO Problema de Valor Inicial (PVI) Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem A ordem da mais alta derivada envolvida em uma ED é chamada de sua ordem. Existem alguns tipos de equações ordinárias de primeira ordem que podem ser resolvidas analiticamente.Comecemos por estudar o caso mais simples das equações diferenciais de primeira ordem e depois analisaremos as equações de variáveis separáveis e as equações homogéneas. Essa ordem é de acordo com a derivada de mais alta ordem envolvida na equação. Se Mé uma Para EDO’s Lineares de 1º ordem ambos os métodos funcionam (na verdade são iguais, com diferentes explicações), mas é necessário conhecer ambos: Para EDO’s Lineares de 2º ou mais alta ordem e sistemas o método da variação de parâmetros funciona, e o fator de integração falha; Este conteúdo Atualizada por Ulysses Sodré Comprove que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada Há a EDO linear de primeira viagem, que é quando f é linear em y. +55 (31) 9731-2516 contato@eaiamigo.com.br, Copyright © 2020 • E Ai, Amigo? A EDO y ′ = 1 Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão: Está a comentar usando a sua conta WordPress.com \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{f(y)}} \\ &= -1.2*3.468 + 7*e^{-0.3*0.25} = 2.332 \\ $$y_{i+1} = y_i + k_2h,$$ A forma diferencial \(xdx+ydy=0\) é exata. Entendendo melhor os espelhos esféricos. &= g(0+0.25, 3 + 1.874*0.25) = g(0.25, 3.468)\\ \frac{{\color{cyan}{dy_h}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}} &= 0 Há a EDO linear de primeira viagem, que é quando f é linear em y. \\ Demonstra que: b) se é um máximo divisor comum de , então é um máximo divisor comum de . Resolvemos uma EDO homogênea, transformando-a em uma EDO com variáveis separáveis com a substituição \(y(x)=x\;v(x)\) onde v=v(x) é uma nova função incógnita. \int{\color{blue}{f(y)}}{\color{blue}{dy}} &= \int{\color{orange}{g(t)}}{\color{orange}{dt}} Equações Diferenciais Ordinárias Notas de aulas - 21 de Maio de 2003 Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil. 10 (10.114), E 10.5.1. Metodologia para resolver Equações de Bernoulli: 1. Equações diferenciais de variáveis separáveis.Exercícios resolvidos, 1.2. Grátis. 35 pág. Para resolve-la vamos introduzir um método. ( Terminar Sessão /  Essas equações diferenciais são calculadas utilizando o método do fator integrante. Calculadora de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e sistemas de EDOs Calculadora aplica métodos para resolver: separáveis, homogêneos, lineares, primeira ordem, Bernoulli, Riccati, fator integrador, agrupamento diferencial, redução de ordem, não homogêneos, coeficientes constantes, Euler e sistemas — equações diferenciais. Subtituindo o valor de $a_2 (a_2 = 1)$, \\ Uma solução de uma EDO é uma função y (x) cujas derivadas satisfazem a equação. \\ forma que obteremos o sistema: To learn more, view our Privacy Policy. Uma Equação Diferencial é uma equação que contém uma ou mais variáveis independentes (  x x ), uma variável dependente, que é a função (  y=f (x) y = f (x)) e derivadas dessa função, de várias ordens (  y' y′,  y'' y′′, etc.). e x 2 2 Sacou? Uma, dentre as vesões mais comuns para RK3 é: x e y, da função u = u(x,y) ou das derivadas de primeira ordem de u = u(x,y) e além disso G(x,y) 6= 0 na EDP mais geral de segunda ordem. Exercício: Resolver a EDO não linear \(2xy\;y'+(x-1)y^2=x^2\exp(x)\), usando a substituição: \(y^2=xz\). y′ = w (10.97) ∂ y ( μ M ( x, y)) = ∂ ∂ x ( μ N ( x, y)). Dizemos que a equação \(Mdx+Ndy=0\) é exata se: \(M_y = N_x\). É um método muito similar ao do fator de integração, porém com outra abordagem. \\ Nesse módulo você irá aprender como classificar essas equações e métodos para resolvê-las de acordo com essa classificação. Índice de Refração. 2º Caso: A equação não é homogênea . 6. e nossas inclinações serão: Um dos assuntos estudado na Álgebra Linear e Geometria Analítica são as Equações Diferenciais e, é sobre elas que vamos falar aqui hoje. \end{align} AVISO: Este post pode conter links de afiliados da Amazon, ou seja, quando você clica nos links e faz uma compra, eu recebo uma comissão. Primeiro passo: indicar as constantes reais a, b e c, que são as constantes da equação característica (vamos vê-la no segundo passo), da equação diferencial. Passos para resolver a EDO 1º ordem não homogênea utilizando o fator de integração: \[ Qualquer função. \]. \[ \end{align} Ordem: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. Exercício 1: Resolva a EDO: y + y = 3cos(x) + sec(x) (1) Solução: Primeiramente temos que resolver a equação homogênea associada, então temos que: y + y = 0 Logo, a equação característica da equação homogênea associadaé λ 2 + 1 = 0 Sabendo que P (λ) = 0 fornece as raízes que formam a base de soluções da equação homogênea associada, assim : Resolvendo λ 2 + 1 = 0, temos que suas respectivas raízes são: λ 1 = i e λ 2 = −i, então as soluções da equação . Vamos considerar que todas as condições necessárias para poder resolver esta equação sejam satisfeitas. A solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) pode conter uma ou mais constantes indeterminadas. Escolha uma opção: a. Use então um sistema de computação algébrica (SCA) para encontrar uma expressão explícita para f - 1 x . \]. Uma função \(f=f(x,y)\) é homogênea de grau \(k\) se, para todo \(t\) real, tem-se que: Uma função \(f=f(x,y)\) é homogênea de grau \(0\) se, para todo \(t\) real, se tem que: Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todos os monômios da função têm o mesmo grau e no caso de uma função racional (quociente de polinômios), todos os membros do numerador têm um mesmo grau e todos os membros do denominador também possuem um mesmo grau. \], \[\begin{align} Por exemplo: y' = xy y′ = xy Equações Diferenciais Parciais: Uma equação diferencial é parcial quando o domínio da função - Cap 9, Modelo de Termo de Abertura de Projeto - TAP, 3 - Etiopatogenia das doenças periodontais, Comparação entre o Behaviorismo, Gestalt e Psicanálise, Integral de linha - Exercícios resolvidos, Atividade Unidade II Metodologia DO Trabalho Científico Contábeis, PROVA ESTACIO CONTABILIDADE E ANÁLISE DE CUSTOS, TOM - Donner Case - Operations case questions, Questões para análise do filme maos talentosa, Sequencia Didatica Chapeuzinho Vermelho BNCC 2, Sociedade do cansaço by Byung-Chul Han (z-lib, Apreciacion DE Seguridad Edificio Asurion, A loucura da razão econômica, Marx e o capital no século XXI by David Harvey (z-lib, Ciencia Politica e Teoria do Es - Lenio Luis Streck, Caderno de Exercicios da Atividade Pratica de Logica de Programacao e Algoritmos B, Atividade mapa Biomecanica e cinesiologia 03 junho. Se fizermos, por exemplo, a_1 = 0 a1 = 0, a_2 a2 será igual a $1. Entrar. Entretanto aqui estão apresentadas provas elementares de resultados como os teoremas de existência e unicidade para equações diferenciais e para sistemas de equações diferenciais, o teorema sobre a existência de soluções em série de potências para equações lineares de 2 a . \\ EDO: Envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente, EDP: Envolve derivadas de uma função em relação a mais de uma variável independente. Sorry, preview is currently unavailable. \begin{align} \begin{align} Substituir Q= U1− e d =(1− J) U− 3. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única. \mu(t) = e^{\int\color{orange}{g(t)}dt} ordem e uma de primeira ordem: Tal fato é motivado pelo fato que é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade somente possua um tipo de variável e assim poderemos realizar a integração de cada membro por um processo bastante simples. \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} + \mu(\underbrace{\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}}}_{0}) &= {\color{orange}{b(t)}} \], \(\color{blue}{y(t)} = \mu(t)\color{cyan}{y_h(t)}\), \(\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}} = 0\), \[ \end{align} (10.106). \end{align} Agora, vamos colocar tudo que tem do lado esquerdo e tudo que tem do lado direito, assim: Agora, integramos os dois lados da equação: Note que, é uma constante, que podemos chamar de . Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis Existem dois tipos de Equações Diferenciais: Equações Diferenciais Ordinárias: Uma equação diferencial é ordinária quando o domínio da função y (x) y(x) está contido em \R R, isto é, tem apenas 1 dimensão. \\ u3′(t) = u2(t) b. de equações de primeira ordem, introduzimos a substituição Cursos EQD - Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem. Por exemplo, a equação abaixo . \begin{aligned} A seguir, veremos a forma mais comumente usada, que ficou conhecida como método RK de quarta ordem clássico: Podemos observar que a ordem do método, na verdade, corresponde ao número de inclinações que teremos de calcular, ou seja, fica claro que para o método de RK4, nós teremos quatro inclinações com novos pesos: $$k_1 = f(x_i,y_i),$$ Dessa forma, podemos ver que realmente há infinitas formas de escrevermos a expressão para calcular numéricamente uma EDO usando o método de RK2, sendo Ponto Médio e Heun casos particulares dos métodos de Runge-Kutta. — 3. \end{align} $$y_{i+1} = y_i + (a_1k_1 + a_2k_2)h.$$ z′(0) = 3 0 Enter the email address you signed up with and we'll email you a reset link. Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente. Vamos passar o para o lado direto da equação e escrever como. \begin{align} \mu(t)\frac{dy}{dt} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \mu(t)\frac{dy}{dt}+\frac{d\mu}{dt}\color{blue}{y} Neste capítulo trata de um método importante ara se equações diferenciais parciais conhecido como separação de variáveis. Este é um método aplicado regularmente para resolver EDO’s de 2º ordem com mais eficiência que o anterior. \end{align} A equação diferencial y0 = x y está em sua forma normal, mas pode ser reescrita na sua forma diferencial xdx−ydy= 0. e 02)  Verifique  se  a  equação diferencial ordinária é exata e encontre a solução particular da equação pelo método das exatas para y (1) = 1. exercícios de Equações Diferenciais Ordinárias, Creative Commons - Atribuição 4.0 Internacional. $$, $$Erro = y_{a} - y_{2} = 4.072 - 4.070 = 0.002 $$. Lista de Exercícios sobre Equações Diferenciais Ordinárias. \end{aligned} Para tal, converteremos a equação diferencial em \[ de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem linear. O outro fato de que precisamos é dado pelo seguinte Uma plataforma de Educação Online que visa transformar a vida dos alunos e dos professores de todo Brasil. x(0,5), 1. 1. 2. Equações lineares; Metodos dos Fatores Integrantes. Academia.edu no longer supports Internet Explorer. \]. A modelagem de um conjunto de equações diferenciais fornece um resultado \end{align} Linear de segunda ordem. Estude Exercícios de Inequações Polinomiais Resolvidos passo a passo mais rápido. \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}} Economia do Ambiente. Se fizermos agora $a_1 = \frac{1}{2}$, a partir disso (usando o conjunto de equações) podemos calcular que $a_2 = \frac{1}{2}$. Tudo isso com base em videaulas curtas e objetivas e uma lista de exercícios com resolução para você praticar. Essa expressão para o método de RK de segunda ordem também já vimos, ela é o método desenvolvido por $Heun$. 1 − 0,1z(t) y(t) − x(t) \mu \frac{dy}{dt} + \frac{d\mu}{dt} y &= \frac{d}{dt}(\mu\cdot y) \\ Nossa EDO Linear de 1ª Ordem sempre vai poder ser organizada algebricamente, para ser colocada nesse formatinho: Exemplo: A EDO \(y'=x/y\), está na forma normal e pode ser reescrita na sua forma diferencial \(xdx-ydy=0\), assim, \(xdx=ydy\), então integrando cada termo de forma independente, obtemos: e reunindo as constantes em uma constante C, obtemos: Esta relação (que não é uma função) satisfaz à EDO dada. Vammos começar entendente o que é uma equação diferencial. Solução: Primeiro passo é verificar se as funções são homogéneas do mesmo grau. No caso mais geral, ela é da seguinte forma: Agora que já sabemos identificar uma equação diferencial de primeira ordem sabendo sua forma geral, vamos ver exemplo de exercício resolvido pelo seu Amigão. Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). \]. $$a_2p_1 = \frac{1}{2}.$$ You can download the paper by clicking the button above. \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= \frac{\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{f(y)}} Em geral, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é representada por \frac {dy} {dt}= f\left (t,y \right) dtdy = f (t,y) onde f f é uma função nas variáveis t t e y y. \[ {y_a} &= \frac{70}{9}e^{-0.3*0} - \frac{43}{9}e^{-1.2*0} \\ \begin{align} por num certo intervalo é uma solução da EDO. e y(2). stream Podemos definí-las como Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) ou Equações Diferenciais Parciais (EDP). Vou te passar um passo a passo para resolver uma EDO separável: Coloque a derivada na forma d y d x em vez de y ' ( x ) e escreva apenas y em vez de y ( x ) Isole o termo d y d x de um lado da equação e coloque o resto do outro lado y 0 = 1 = K e 0 ∴ K = 1 Então a solução do problema de valor inicial será y x = 1 . Se fizermos, por exemplo, $a_1 = 0$, $a_2$ será igual a $1. \end{align}\], \[ �Y�����E2��`�w���w�� �����=~���h�S�D�M���� ^������!�"ʳ�H�H�� �VVQ�;̔���$(�t�x�5� .+@f.��:�v��ĂvS���z��B��Ɵ��G �AFQ��q$�H� ��(M�2�Q������S�b�!�y���IVE p )�R*z�5ɟ]�'����]�Q�%��>�D�RF���M=ߡ�,�E���,��9�t%��Y�����"��#Y��/��I�%.�o�OsxY��]����B���� I��S�q%��ڞ�m��f�_�c�^�L N���Ӽ'��� �Y�!�T�t�+i����K������?�a�!�1Zt5C�r�Es�h�.��&I�(O\*�.%�s^U����w�e �����?2�oX�v�#֣��L5}�e�d� ��e/b. \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}} + {\color{orange}{b(t)}} ou (10.112) Isso nos dará a seguinte equação para o calculo do próximo valor de $y$: Na primeira, descrevemos o ambiente educacional investigado e como ocorreu a opção pela implementação de uma atividade de Modelagem Matemática em sala de aula. Primeiro passo pra resolver esse problema é entender o que o enunciado quer dizer e escrever isso . \\ {y_{i+1} = y_i + (\frac{1}{2}k_1 + \frac{1}{2}k_2)h}, x(0) = 3 (10.103) \\ e construímos uma nova função z definida por: que é uma EDO linear na variável z. Após resolvida esta última, voltamos à variável original y, com a relação: Exemplos: Para resolver a equação de Riccati \(y'=-2-y-y^2\), tomamos \(y(x)=2\) que é uma solução particular para a EDO dada, realizamos a substituição: \(z=1/(y-2)\) com \(y'=-z'/z^2\), para obter a equação linear em \(z\): e com alguns poucos cálculos podemos voltar à variável y para obter a solução procurada. %���� \], \[ Classificação das Equações Diferenciais. 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E APLICAÇÕES . (1) por U; 2. <>>> e $a_1p_1 = \frac{1}{2}$. \]. Alguns Modelos Matemáticos Básicos: Campo de Direção. Segundo passo será fazer a substituição.Se fizermos teremos: Terceiro passo será arrumar a equação e verificar que ficou separável. Exemplo: EDO de 2° ordem - a derivada mais alta envolvida na equação é a segunda derivada. \begin{align} Guia com resumos, provas antigas e exercícios resolvidos passo a passo, focados na prova da sua faculdade. seja uma equação exata, i.e. x(0) = 2, (10.121) A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada na equação. \end{align} A forma geral das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é: x0= f(t;x); (2.1) onde f: !RN, está de nida em cada ponto (t;x) de um aberto \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} + \mu\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt}+ {\color{orange}{g(t)}}\mu{\color{cyan}{y_h}} &= {\color{orange}{b(t)}} 2.2 Equações separáveis de primeira ordem Seja uma equação diferencial M(x,y) dx+ N(x,y) dy= 0.